А) Докажите, что если натуральное число А представимо вы виде суммы двух квадратов, то 2А также представимо в таком виде.

Решение:

1) Пусть натуральное число А представимо в виде суммы двух квадратов. Тогда существуют такие a и b, что

A = a^2 + b^2

Рассмотрим числа c и d, такие, что:

с = a+b, d = a - b

Тогда получаем:

с^2 + d^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2) = 2A

Т.е. мы всегда можем указать 2 таких числа, что сумма их квадратов будет равна 2A

2) Пусть существуют такие a и b, что

2A = a^2 + b^2

Рассмотрим числа c и d, такие, что:

с = (a+b)/2, d = (a - b)/2

Тогда получаем:

с^2 + d^2 = ((a+b)/2)^2 + ((a-b)/2)^2 = 2(a^2 + b^2)/4 = 2A/2=A

Т.е. мы всегда можем указать 2 таких числа, что сумма их квадратов будет равна A