∞ Σ1/n! n=1 Исследовать на сходимость ряд при помощи признака Даламбера

Применим признак Даламбера в предельной форме:

lim (n -> ∞) |a_n+1 / a_n|

В данном выражении член a_n равен:

a_n = 1 / n!

 Для начала найдем (n + 1) - ый член выражения под знаком суммы:

a_n+1 = 1 / (n + 1)!

Теперь найдём предел отношения a_n+1 к a_n:

lim (n -> ∞) |a_n+1 / a_n| = lim (n -> ∞) |(1 / (n + 1)!) / (1 / n!)| = lim (n -> ∞) |n! / (n + 1)!|.

Заметим, что:

n! / (n + 1)! = n! / (n! * (n + 1)) = 1 / (n + 1).

Тогда предел равен:

lim (n -> ∞) |1 / (n + 1)| = 0.

Результат этого предела оказался меньше единицы, следовательно ряд абсолютно сходится, согласно признаку сходимости Даламбера.

Ответ: ряд сходится.