В выпуклом четырёхугольнике ABCD , точка m лежит на середине стороны AD ,точка m равноудалена от всех вершин, углы B

Решение:

Пусть ABCD четырехугольник, M - середина сторона AD, <B - угол ABC, <D - угол CDA. 

По условию задачи точка M равноудалена от вершин, поэтому этот четырехугольник можно считать вписанным в окружность с центром в точке M с диаметром AD.

Из теоремы о вписанном четырехугольнике в окружность, что сумма его противоположных углов равны 180°, следует;

<D = 180° - 116° = 64°, <A = 180° - 94° = 86°.

Треугольник MCD равнобедренный, поэтому <MCD = <D = 64°. <BCM = 94° - 64° = 30°.

Треугольник BMC тоже равнобедренный, <BMC = 180 - 2<BCM = 180° - 60° = 120°.

Сторону │MB│ = │MC│ -обозначим через r. 

Теперь, для определения длины стороны BC можем использовать теорему косинусов.

│BC│² = │MB│² + │MC│² – 2 * │MB│ *│ MC│ * cos<BMC ;

│BC│² = r² + r² – 2 * r * r * cos120° = 2r²  – 2 * r2 * ( -1/2) = 2r²  +  r2 .

9² = 3 * r²  => r = 9 /√3 = 3√3 .

│AD│ = 2r = 6√3.

Ответ: 6√3.