В геометрической прогрессии с положительным знаменателем 3ий член равен 4ём, а 5ый = 16.Найдите сумму первых 10ти членов

1. Предположим, что последовательность b_n (где n – натуральное число) является геометрической прогрессией. Согласно условия задания, знаменатель (q) геометрической прогрессии больше чем 0. Кроме того, b₃ = 4 и  b₅ = 16.
2. Ясно, что, если знаменатель (q) некоторой геометрической прогрессии больше нуля, то b_n > 0 при всех натуральных n. В противном случае, при любом, отличном от нуля, первом члене, получили бы знакочередующуюся геометрическую прогрессию.
3. Применим характеристическое свойство геометрической прогрессии (b_n)² = b_{n – 1} * b_{n + 1} при n = 4.
4. Имеем: (b₄)² = b₃ * b₅ = 4 * 16, откуда (из-за b_n > 0 при всех натуральных n) получим очевидное b₄ = 8.
5. Теперь легко определим знаменатель q = b₄ : b₃ = 8 : 4 =2.
6. Сумму первых десяти членов данной геометрической прогрессии найдём используя формулу S_n = (b₁ * (1 – qⁿ)) / (1 – q), где n – натуральное число.
7. Имеем b₃ = b₁ * q², то есть 4 = b₁ * 2², откуда b₁ = 4 : 4 = 1.
8. Итак, S₁₀ = (b₁ * (1 – q¹⁰)) / (1 – q) = 1 * (1 – 2¹⁰) / (1 – 2) = 1023.

Ответ: S₁₀ = 1023.