13. Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов их длин равна квадрату суммы длин оснований

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2mFI67H).

По условию угол АОД = 90⁰.

Из вершины С, трапеции АВСД проведем прямую, параллельную диагонали ВД, и в точке пересечения ее с основанием АД отметим точку Е.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСЕ, у которого угол С = 90⁰. Тогда по теореме Пифагора АЕ² = АС² + СЕ².

АЕ = АД + ДЕ.

В четырехугольнике ВСЕД противоположные стороны параллельны, следовательно это параллелограмм и ДЕ = ВС, а СЕ = ВД.

Тогда (АД + ВС)² = АС² + ВД².

Что и требовалось доказать.