Докажите, что ни при каких значениях переменной а многочлен а4 – 2а3 + а2 не может принимать отрицательных значений.

Разложим многочлен на множители, вынесем общий множитель a² за скобку:

а⁴ – 2а³ + а² = a²(a² - 2a + 1).

Разложим квадратные трехчлен в скобках на множители по формуле ax² + bx + c = а(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

a² - 2a + 1 = (а - а₁)(а - а₂).

D = (-2)² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0 (один корень).

а_1,2 = 2/2 = 1.

Следовательно, a² - 2a + 1 = (а - 1)(а - 1) = (а - 1)².

Значит, первоначальный многочлен принимает вид a²(а - 1)², что представляет собой произведение двух квадратов. И так как квадрат любого числа - это положительное число, то и значение данного произведения будет всегда положительным.