В равнобедренной трапеции диагонали являются биссектрисами острых углов. Определите периметр трапеции, если диагональ

Ответ: 2) 72см .

Решение:

Дано: АВСD - равнобедренная трапеция. АС -биссектриса углов ВАD и СDА. НL - средняя линия. АС - диагональ трапеции. НК = 8 см, КL = 12 см.

Найти: Р трапеции.

Решение: 1) Периметра трапеции сумма всех ее сторон, т.е. Р = АВ + ВС + АD + СD . Согласно свойствам равнобедренной трапеции АВ = СD, тогда Р = 2 * АВ + ВС + АD .

2) По свойствам средней линии трапеции НL = (ВС + АD) / 2, откуда ВС + АD = 2 * НL,

тогда Р = 2 * АВ + 2 * НL .

  НL = НК + КL = 8 + 12 = 20 (см) .

3) Рассмотрим данную трапецию: углы ВАС и САD равны, по свойству биссектрисы угла ВАD.  Основания ВС и АD параллельны, АС - диагональ трапеции и секущая при них, отсюда углы ВСА и САD  равны, как накрест лежащие.

Отсюда углы ВАС и ВСА тоже равны; по свойству равнобедренных треугольников АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС. Тогда АВ = ВС. 

Т.к. по свойствам средней линии трапеции НL || ВС и АН = НВ, то НК || ВС, а т.к. прямая, параллельная стороне треугольника (в нашем случае ВС) и проходящая через середину другой его стороны (АВ), проходит и через середину третьей стороны треугольника. Отсюда НК - средняя линия треугольника АВС, значит она параллельна основанию и равна его половине.  НК =ВС / 2 , откуда ВС = 2 * НК = 2 * 8 = 16 .

Р = 2 * АВ + 2 * НL = 2 * 16 + 2 * 20 = 32 + 40 = 72 см .