Произведение шестого и десятого членов арифметической прогрессии равно 24. Найдите сумму их квадратов, если сумма пятого

1. Дано: арифметическая прогрессия a_n, где n – натуральное число, причем a₆ * a₁₀ = 24; a₅ + a₁₁ = 11. Необходимо найти (a₆)² + (a₁₀)².
2. Вспомним: арифметическая прогрессия это последовательность чисел a₁,a₂,...,a_n (членов прогрессии, n – натуральное число), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего, добавлением к нему постоянного числа d ≠ 0 (шага или разности прогрессии).
3. Имеем: a₆ = a₅ + d, откуда a₅ = a₆ – d; a₁₁ = a₁₀ + d. подставим найденные выражения в равенство a₅ + a₁₁ = 11 на свои места. Тогда получим: a₆ – d + a₁₀ + d = 11 или a₆ + a₁₀ = 11.
4. Используя формулу сокращенного умножения (a – b)² = a² + 2 * a * b + b², возводим в квадрат обе стороны последнего равенства. Тогда 11² = (a₆ + a₁₀)² = (a₆)² + 2 *  a₆ * a₁₀ + (a₁₀)².
5. Учитывая равенство a₆ * a₁₀ = 24, найдём (a₆)² + (a₁₀)² = 121 – 2 * a₆ * a₁₀ = 121 – 2 * 24 = 121 – 48 = 73.

Ответ: 73.