периметр осевого сечения цилиндра 6см, при каком радиусе основания цилиндра его объема будет наибольшим?

1. Как известно, осевым сечением цилиндра является прямоугольник, у которого длина равна диаметру, а ширина равна высоте цилиндра. Допустим, что радиус основания цилиндра равен R, а его высота – Н. Тогда объем цилиндра V можно вычислить по формуле: V = π * R² * Н. Очевидно, что диаметр цилиндра равен 2 * R.
2. Поскольку, периметр осевого сечения известен, то имеем: 2 * (R + Н) = 6 см или R + Н = (6 см) : 2 = 3 см. В дальнейших вычислениях меру длины см опустим. Выразим высоту цилиндра Н через его радиус R. Имеем: Н = 3 – R. Подставим это выражение в формулу объёма: V = π * R² * (3 – R) = 3 * π * R² – π * R³. Таким образом, получили функцию V = V(R) = 3 * π * R² – π * R³.
3. Для того, чтобы ответить на поставленный в задании вопрос, исследуем функцию V(R) на максимум при 0 < R < 3. С этой целью вычислим Vꞌ(R) = (3 * π * R² – π * R³)ꞌ = 6 * π * R – 3 * π * R² = 3 * π * R *(2 – 3 * R). Приравнивая нулю производную, определим то значение R, где функция V(R) может принимать экстремальное (возможно, максимальное) значение.
4. Имеем: 3 * π * R * (2 – 3 * R) = 0. Поскольку речь идёт о реальной геометрической фигуре (о цилиндре), то R ≠ 0. Тогда, 2 – 3 * R = 0, откуда R = 2/3.
5. Ясно, что производная Vꞌ(R) > 0 при 0 < R < 2/3 и Vꞌ(R) < 0 при 2/3 < R < 3. Значит, при переходе аргумента R через точку R = 2/3, производная Vꞌ(R) меняет знак с «+» на «–». Это означает, что функция V(R) = 3 * π * R² – π * R³ на точке R = 2/3 достигает своего наибольшего значения: V_max = V(2/3) = 3 * π * (2/3)² – π * (2/3)³ = (4/3 – 8/27) * π = ((4 * 9 – 8) / 27) * π = (28/27) * π.
6. Таким образом, при радиусе основания цилиндра, равном 2/3 см, его объема будет наибольшим и равным (28/27) * π.