Сколько корней уравнения tgx - tg2x = sinx принадлежит отрезку от 0 до 2Пи (можно полностью решение с обьяснением)

Преобразуем в левую часть уравнения.

tg x - tg 2x = tg x - 2tg x/(1 - tg² x) = (tg x - tg³ x - 2tg x)/(1 -  tg²x) =

= (- tg³ x - tg x)/(1 - tg² x) = -tg x * ( 1 + tg² x)/(1 - tg² x). 

Заменим tg x = Sin x/Cos x, получим:

-tg x/(2Cos² x - 1) = Sin x.

Разделим обе части уравнения на  Sin x и перенесем все члены влево,

2Cos² x - Cos x - 1 = 0, Сделаем замену переменной y =cosx.

Получим следующее уравнение: 2y² - y - 1 = 0. Решим это уравнение: y_1,2 = (1 ± √(1 + 8))/4,

y₁ = (1 - 3)/4 = -1/2, y₂ = (1 + 3)/4 = 1.

На данном отрезке подходит корень y = 1.

Cos x = 1, x = π + 2πk , k∈Z.

Ответ: Отрезку [0 ; 2π]  принадлежат два корня: х = 0 и х = π.