• Сумма тридцати начальных членов геометрической прогрессии в 72 раза меньше,чем сумма ее следующих шестидесяти членов.Найдите

Ответы 1

    1. Пусть, bn – n-й член геометрической прогрессии со знаменателем q, где n = 1, 2 , … . Искомое отношение пятидесятого члена к десятому ее члену обозначим через К = b50 : b10.
    2. Ясно, что если сумма тридцати начальных членов геометрической прогрессии равна S30, то сумму ее следующих шестидесяти членов можно найти, вычитая S30 от S90 (то есть, от суммы начальных девяноста членов). По условию задания, (S90 – S30) : S30 = 72.
    3. Как известно, сумму Sn начальных n членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле Sn = b1 * (1 – qn) / (1 – q), где q ≠ 1. Имеем: S90 = b1 * (1 – q90) / (1 – q) и S30 = b1 * (1 – q30) / (1 – q). Тогда, получим: S90 – S30 = b1 * (1 – q90) / (1 – q) – b1 * (1 – q30) / (1 – q) = (1 – q90 – (1 – q30)) * (b1 / (1 – q)) = (1 – q90 – 1 + q30) * (b1 / (1 – q)) = (1 – q60) * q30 * (b1 / (1 – q)).
    4. Используя формулу сокращенного умножения (a – b) * (a + b) = a2 – b2 (разность квадратов), имеем 1 – q60 = 12 – (q30)2 = (1 – q30) * (1 + q30).
    5. Таким образом, условие из п. 2 примет вид: [(1 – q30) * (1 + q30) * q30 * (b1 / (1 – q))] : [(1 – q30) * (b1 / (1 – q))] = 72 или (1 + q30) * q30 = 72.
    6. Введём обозначение у = q30. Тогда получим уравнение (1 + у) * у = 72 или у2 + у – 72 = 0. Вычислим дискриминант D этого квадратного уравнения: D = (–1)2 – 4 * 1 * (–72) = 1 + 288 = 289 > 0. Значит, оно имеет два различных корня: у1 = (–1 – √289) / 2 = (–1 – 17) / 2 = –9 и у2 = (–1 + √289) / 2 = (–1 + 17) / 2 = 8. Очевидно, что корень у = –9 является побочным корнем, так как у = q30 > 0. Итак, q30 = 8. Учитывая 8 = 23 и q30 = (q10)3, имеем: (q10)3 = 23, откуда q10 = 2.
    7. Используя формулу bn = b1 * qn – 1 и q10 = 2 найдём отношение пятидесятого члена к десятому ее члену.  Имеем К = b50 : b10 = (b1 * q50 – 1) : (b1 * q10 – 1) = q49 – 9 = q40 = (q10)4 = 24 = 16.

    Ответ: 16.

    • Автор:

      wilkerson
    • 2 года назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years