ctg 5x=ctg 2x найти корни расположенные на промежутке (0;90) ответ в градусах

1. Прежде всего, отметим, что данное тригонометрическое уравнение имеет смысл для таких х, которые удовлетворяют неравенствам 5 * х ≠ π * k и 2 * х ≠ π * n, где k и n – целые числа.
2. Применим формулу ctgx = cosx / sinx к обеим частям данного уравнения.
3. Тогда, имеем: cos(5 * x) / sin(5 * x) = cos(2 * x) / sin(2 * x) или (sin(5 * x) * cos(2 * x) – cos(5 * x) * sin(2 * x)) / (sin(5 * x) * sin(2 * x)) = 0.
4. Умножая обе части последнего уравнения на sin(5 * x) * sin(2 * x) ≠ 0, получим sin(5 * x) * cos(2 * x) – cos(5 * x) * sin(2 * x) = 0.
5. Применим формулу sin(α – β) = sinα * cosβ – cosα * sinβ (синус разности). Тогда, имеем: sin(5 * x – 2 * х) = 0 или sin(3 * x) = 0.
6. Последнее уравнение позволяет определить 3 * x = π * m, где m – целое число.
7. Разделив обе части последнего равенства на 3, получим х = (π / 3) * m или х = 60° * m, где m – целое число.
8. Осталось выделить такие х, которые удовлетворяют неравенствам: 0° < x < 90° и условиям п. 1.
9. Анализ показывает, что только одно значение m = 1 удовлетворяет указанным условиям. Следовательно, х = 60°.

Ответ: х = 60°.