s четырёхугольника MNKP ,описанного около окружности R=8 см, равна 182 см2.Найдите стороны четырёхугольника, если известно

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BlnWda).

В решении будем исходить из того, что в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

MN + PK = MP + NK.

Пусть MN равно Х см, тогда РК = Х + 6 см.

Пусть МР = У, тогда NK = У * (7 / 6).

Х + (Х + 6) = У + У * (7/6).

2 * Х + 6 = (13/6) * У.

Проведем из вершин четырехугольника медианы углов, которые пересекутся в центре окружности, точке О.

Образовались четыре треугольника  MNO, MOP, POK, KON, сумма площадей которых равна площади четырехугольника.

Высоты, проведенные из точки О к сторонам четырехугольника равны радиусу окружности.

Тогда площади треугольников равны:

Smno = MN * R / 2.

Smop = MP * R /2.

Spok = PK * R / 2.

Skon = KN * R / 2.

Тогда:

Smnkp = MN * R / 2 + MP * R /2 + PK * R / 2 + PK * R / 2 = R * (MN + MP + PK + KN) / 2 = R * Pmnkp / 2.

182 = 8 * Pmnkp / 2.

Pmnkp = 45,5 cm.

Так как сумма противоположных сторон четырехугольника равны, то Р / 2 = 2 * Х + 6.

Р = 4 * Х + 12.

45,5 – 12 = 4 * Х.

Х = 33,5 / 4 = 8,375 см.

MN = 8,375 см.

 PK = 8,375 + 6 = 14,375 см.

2 * Х + 6 = (13/6) * У.

У = 6 * (2 * 8,375 + 6) / 13 = 10,5 см.

МР = 10,5 см.

 NK = 10,5 * (7 / 6) = 12,25 см.

Ответ: MN = 8,375 см, PK = 14,375 см, МР = 10,5 см, NK = 12,25 см.