От брошенного в грязь современного бумажного письма уже спустя небольшое время не останется даже следа, а процарапанное

Разберем предложение по членам:

(Что сделает?) не останется - сказуемое (глагол).

Не останется (Чего?) следа - дополнение (имя существительное).

Не останется (Когда?) спустя небольшое время - сложное обстоятельство (наречие + имя прилагательное + имя существительное).

Следа (От чего?) от письма - дополнение (имя существительное).

Письма (Какого?) современного бумажного - определения (имена прилагательные).

Письма (Какого?) от брошенного в грязь - развернутое определение (причастный оборот).

(Что?) письмо - подлежащее (имя существительное).

Письмо (Что сделает?) пролежит - сказуемое (глагол).

Письмо (Какое?) процарапанное берестяное - определения (имена прилагательные).

Пролежит (Сколько?) многие столетия - сложное обстоятельство (имя прилагательное + имя существительное).

Пролежит (Где?) в благоприятных условиях - сложное обстоятельство (имя прилагательное + имя существительное).

Таким образом, в предложении присутствует один причастный оборот - от брошенного в грязь.