Уравнение с частными производными. Применение преобразования Фурье

Для решения задачи используем метод разделения переменных и представим решение в виде произведения функций двух переменных: u(x,y) = X(x)Y(y). Подставляем в уравнение и делим на X(x)Y(y): X''/X = -4Y''/Y Переносим все X-зависимое в левую часть, а Y-зависимое в правую: X''/X + 4Y''/Y = 0 Левая часть уравнения зависит только от x, а правая - только от y. Значит, каждое слагаемое равно некоторой константе k: X''/X = -4k Y''/Y = k Решим уравнение для Y(y): Y''/Y = k Характеристическое уравнение: r^2 = k, решением которого являются функции вида Y(y) = A*e^sqrt(k)y + Be^-sqrt(k)*y. Из граничных условий видно, что Y(0) = 0, поэтому B = 0. Также, из-за ограниченности решения, нужно выбрать только синусоидальные колебания, то есть k должно быть положительным. Таким образом, решение для Y(y) имеет вид: Y(y) = Asin(2y*sqrt(k)) Решим уравнение для X(x): X''/X = -4k Характеристическое уравнение: r^2 = -4k, решением которого являются функции вида X(x) = Ccos(2sqrt(k)x) + Dsin(2*sqrt(k)*x). Теперь можем записать общее решение для u(x,y): u(x,y) = (Ccos(2sqrt(k)x) + Dsin(2sqrt(k)x)) * Asin(2y*sqrt(k)) Используем граничные условия, чтобы определить коэффициенты C, D и A: u(x,0) = 0 -> C = 0 u(0,y) = θ(y-1) -> Asin(2sqrt(k)*y) = θ(y-1) Чтобы найти A, возьмем предел u(x,y) при y -> 1 справа и слева от точки y=1, получим: Asin(2sqrt(k)) = 1 Откуда A = 1/sin(2*sqrt(k)) Таким образом, окончательное решение имеет вид: u(x,y) = (Dsin(2sqrt(k)x)) * (1/sin(2sqrt(k))sin(2y*sqrt(k)))