На гладкой горизонтальной плоскости покоится доска массы М. На доске лежит тело массы m , которому толчком сообщают начальную скорость v вдоль доски. Коэффициент трения между телом и доской равен μ. На какое расстояние S сместится тело относительно доски? Считать, что тело, смещаясь, остается в пределах доски.

и работу силы тяжести μ mg S. ??????? работа силы тяжести равна нулю ( опечатка)

Опечатка, конечно.

Система доска+тело ни с чем не взаимодействует, поэтому полный импульс сохраняется. Если скорость после остановки тела относительно доски равна u, то из закона сохранения импульсаmv = (m + M)uu = v * m/(m + M)Энергия mv^2 / 2, переданная системе, ушла на кинетическую энергию всей системы (m + M) u^2 / 2 и работу по преодолению силы трения μ mg S. Тогдаμ mg S = mv^2 / 2 - (m + M) u^2 / 2 = mv^2/2 (1 - m/(m + M)) = mv^2 / 2 * M / (m + M)S = v^2 / 2μg * M/(m + M)