Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние 6 вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние 6 вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.
- Предмет:
  Физика
- Автор:
  baron
- 5 лет назад

Ответы 2

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:Обозначим скорость поезда в начальный момент, как $v_o \ ,$ скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя: $v_1 \ ,$ когда только 6 последних вагонов не проехали наблюдателя: $v_6 \ ,$ и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя: $v \ .$ В соответствии с условием: интервалы времени от состояния $v_o$ до $v_1 \ ,$ и от состояния $v_6$ до $v$ – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное: $v - v_6 = v_1 - v_o \ ;$ [1]С другой стороны, от состояния $v_6$ до $v$ – поезд проезжает расстояние вшестеро большее, чем от состояния $v_o$ до $v_1$ – а значит, средняя скорость $v_{6end}$ вшестеро больше средней скорости $v_{o-1} .$ $v_{6end} = 6 v_{o-1} \ ;$ $v + v_6 = 6 v_1 + 6 v_o \ ;$ Сложим с [1] : $v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o \ ;$ [2]Поскольку разность квадратов краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то: $v^2 - v_o^2 = 21 ( v_1^2 - v_o^2 ) \ ,$ так как вся длина поезда составляет $20$ вагонов + локомотив.Подставляем [2] и получаем: $( 3.5 v_1 + 2.5 v_o )^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;$ $12.25 v_1^2 + 17.5 v_1 v_o + 6.25 v_o^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;$ $8.75 v_1^2 - 17.5 v_1 v_o - 26.25 v_o^2 = 0 \ ; \ \ \ \ || : 8.75 v_o^2 }$ $(\frac{v_1}{v_o})^2 - 2 \cdot \frac{v_1}{v_o} - 3 = 0 \ ;$ $\frac{v_1}{v_o} \in \{ -1 , 3 \} \ ;$ $v_1 = 3 v_o \ ;$ Из [2]: $v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o = 3.5 \cdot 3 v_o + 2.5 v_o = 13 v_o \ ;$ ОТВЕТ: $\frac{v}{v_o} = 13 \ .$ ВТОРОЙ СПОСОБ:Запишем уравнение движения передней точки поезда относительно наблюдателя: $S = v_o t + \frac{at^2}{2} \ ;$ Обозначим длину вагона, как $L .$ Локомотив, потом почти весь состав без 6 вагонов, и затем весь состав –– проедут через время $t_o , t_6$ и $t :$ $L = v_o t_o + \frac{a t_o^2}{2} \ ;$ [1] $15L = v_o t_6 + \frac{a t_6^2}{2} \ ;$ [2] $21L = v_o t + \frac{a t^2}{2} \ ;$ Вычтем из последнего – предпоследнее: $6L = v_o ( t - t_6 ) + \frac{a}{2} ( t^2 - t_6^2 ) \ ;$ Поскольку $t - t_6 = t_o ,$ то, используя [1]: $6L = v_o t_o + \frac{a t_o}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o t_o + 6 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;$ $v_o + \frac{a}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o + 6 \cdot \frac{a t_o}{2} \ ;$ $t + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;$ $t_6 + t_o + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;$ $t_6 = \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o \ ;$ $t = t_6 + t_o = \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o \ ;$ [3]Учитывая [2] : $15L = v_o ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o ) + \frac{a}{2} ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o )^2 \ ;$ Используя [1] : $15L = \frac{35v_o^2}{2a} + 15 v_o t_o + \frac{ 25 a t_o^2 }{8} = 15 v_o t_o + 15 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;$ $\frac{35v_o^2}{2a} = \frac{ 35 a t_o^2 }{8} \ ;$ $4 \frac{v_o^2}{a} = a t_o^2 \ ;$ $( \frac{ a t_o }{ v_o } )^2 = 4 \ ;$ $\frac{ a t_o }{ v_o } = 2 \ ;$ $a t_o = 2 v_o \ ;$ Скорость в конце прохождения всего состава, учитывая [3] : $v = v_o + a t = v_o + a ( \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o ) =$ $= v_o + 5v_o + 3.5 a t_o = 6 v_o + 3.5 \cdot 2 v_o = 13 v_o \ ;$ ОТВЕТ: $\frac{v}{v_o} = 13 \ .$
- Автор:
  aquilesmfoy
- 5 лет назад
- 0
ТРЕТІЙ СПОСОБЪ:Сдѣлаемъ дополнительныя построенія въ пространствѣ и во времени. Пусть длина вагона равна $L \ .$ Пусть передъ тѣмъ, какъ передняя точка локомотива равняется съ наблюдателемъ – поѣздъ неограниченное время ужѣ ѣдетъ съ тѣмъ же ускореніемъ. За начало отсчета времени примемъ тотъ моментъ, когда скорость поѣзда была равна нулю. Въ такомъ случаѣ уравненіе движенія поѣзда упростится и не будетъ содержать начальной скорости, однако, когда передняя точка локомотива поравняется съ наблюдателемъ – поѣздъ ужѣ проѣдетъ нѣкоторое разстояніе $xL \ .$ Время $t_o$ въ это мгновеніе можно выразить, какъ: $xL = \frac{at_o^2}{2} \ ;$ $t_o = \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;$ [1]Аналогично имѣемъ время $t_1 \ ,$ когда проѣдетъ локомотивъ: $t_1 = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } \ ;$ Время $t_6 \ ,$ когда проѣдетъ почти вѣсь поѣздъ, но всё жъ пока-таки безъ шести вагоновъ: $t_6 = \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } \ ;$ Время $t \ ,$ когда въ концѣ концовъ проѣдетъ вѣсь поѣздъ: $t = \sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } \ ;$ [2]Изъ равенства времёнъ, имѣющагося въ условіи: $t - t_6 = t_1 - t_o \ ;$ $\sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;$ $\sqrt{ x + 21 } - \sqrt{ x + 15 } = \sqrt{ x + 1 } - \sqrt{x} \ ;$ $2x + 36 - 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } = 2x + 1 - 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } \ ;$ $35 + 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } \ ;$ $1225 + 140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } + 4 x^2 + 4x = 4 ( x^2 + 36x + 315 ) \ ;$ $140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 140x + 35 \ ;$ $4 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 4x + 1 \ ;$ $16x^2 + 16x = 16x^2 + 8x + 1 \ ;$ $8x = 1 \ ;$ $x = \frac{1}{8} \ ;$ Изъ выраженій [1] и [2] съ числовымъ значеніемъ $x$ ужѣ и слѣдуетъ отвѣтъ на вопросъ задачи: $\frac{v}{v_o} = \frac{at}{at_o} = \frac{t}{t_o} = \frac{ \sqrt{ 2L(x+21)/a } }{ \sqrt{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ 2L(x+21)/a }{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ x + 21 }{ x } } = \\\\\\ = \sqrt{ 1 + \frac{21}{x} } = \sqrt{ 1 + \frac{21}{1/8} } = \sqrt{ 1 + 21 \cdot 8 } = \sqrt{ 169 } = 13 \ ;$ ОТВѢТЪ : $\frac{v}{v_o} = 13 \ ;$
- Автор:
  amelia53
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ