С какой наименьшей начальной скоростью нужно бросить камень, чтобы попасть в цель, расположенную на высоте 15 м и на расстоянии 20 м по горизонтали от точки бросания? Значение g принять равным 10 м/с2 - Дата: 22.07.2019, Автор: hammerb4a6

С какой наименьшей начальной скоростью нужно бросить камень, чтобы попасть в цель, расположенную на высоте 15 м и на расстоянии 20 м по горизонтали от точки бросания?
Значение g принять равным 10 м/с2
- Предмет:
  Физика
- Автор:
  hammerb4a6
- 5 лет назад

Ответы 1

Задача на бросок под углом к горизонту. Уравнения движения камня:
$x = V_0tcos\alpha\\ y = V_0tsin\alpha - \frac{gt^{2}}{2}$
По условию, траектория камня проходит через точку с координатами $x$ = 20 и $y$ = 15.
Имеем систему:
$\left \{ {{V_0tcos\alpha=20} \atop {V_0tsin\alpha-\frac{gt^2}{2}=15}} ight.$
Из первого уравнения выразим время $t$ и подставим во второе уравнение:
$\left \{ {{t = \frac{20}{V_0cos\alpha}} \atop {\frac{20V_0sin\alpha}{V_0cos\alpha}}-\frac{20^2g}{2V_0^2cos^2\alpha} = 15} ight.$
Преобразуем второе уравнение:
$\left \{ {{t = \frac{20}{V_0cos\alpha}} \atop 20tg\alpha-\frac{200g}{V_0^2cos^2\alpha} = 15}$
Из второго уравнения несложно выразить $V_0^2$ :
$V_0^2 = \frac{200g}{(20tg\alpha-15)cos^2\alpha} = \frac{200g}{20tg\alpha*cos^2\alpha-15cos^2\alpha}$ (&)
Для того, чтобы $V_0^2$ было наименьшим, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части принимал как можно большее значение, так как величина числителя фиксирована.
Заметим, что $tg\alpha *cos^2\alpha = sin\alpha *cos\alpha = \frac{1}{2} sin2\alpha$ , а также $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$ (формулы двойного угла).
Тогда
$20tg\alpha*cos^2\alpha-15cos^2\alpha = 10sin2\alpha - 15(\frac{1+cos2\alpha}{2} ) = 10sin2\alpha - 7,5cos2\alpha - 7,5 = \sqrt{10^2+7,5^2} sin(2\alpha +\phi) - 7,5$
(в последнем переходе воспользовались формулой вспомогательного аргумента).
Понятно, что максимальное значение $sin(2\alpha +\phi)$ это 1. Тогда максимальное значение выражения $\sqrt{10^2+7,5^2} sin(2\alpha +\phi) - 7,5$ есть $\sqrt{10^2+7,5^2} - 7,5 = 5$ .
Возвращаясь к выражению (&), имеем:
$V_{0,min}^2 = \frac{200g}{5} = \frac{200*10}{5} = 400$ , отсюда $V_{0,min} = 20$ м/с.
- Автор:
  lilacafo
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ