Воду 20 гр. нагрели до кипения, а затем снова охладили до 20 гр. , изменилась ли при этом внутреняя энергия воды? Если да, то как?

Не изменилась, внутренняя энергия зависит от температуры и агрегатного состояния вещества. В любом случае она увеличилась, когда её нагрели. Когда её охладили и вернули в ту же температуру, то внутренняя энергия стала равна начальной, так что по сути она не изменилась.