Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли,а расстояние между центрами Земли и Луны равно 380 тысяч км.На каком расстоянии

Дано:Mз/Mл = 81;L=380000 км;Fз = Fл;lл=?Сила притяжения планеты на расстоянии от нее определяется выражением:F=G*M*m/L², где G - , M - масса планеты, m - масса тела, R - расстояние от центра планеты до тела.Сила притяжения Земли:Fз=G*Mз*m/Lз².Сила притяжения Луны:Fл=G*Mл*m/Lл².L=Lз+Lл.Приравняем силы притяжения планет:Fз = Fл;G*Mз*m/Lз² = G*Mл*m/Lл², сократим:Mз/Lз² = Mл/Lл².Перегруппируем массы и расстояния:Mз/Mл = Lз²/Lл².Получается:Lз²/Lл²=81.Возьмем корень квадратный от обеих частей:Lз/Lл=9.Тогда:Lз=Lл*9, а из выражения L=Lз+Lл, выразим Lз:Lз=L-Lл.Подставим в предыдущее выражение:L-Lл=Lл*9.L=Lл*9+Lл=10*Lл.Отсюда:Lл=L/10=380000/10=38000 км.Ответ: на расстоянии 38000 км.

Притяжение аппарата Землей и Луной

Решение начнем с введения обозначений:

• R — расстояние между центрами Земли и Луны;
• r — искомое расстояние от центра Луны;
• M_з — масса Земли;
• М_л — масса Луны;
• m — масса космического апарата.

Находим силу притяжения со стороны Луны:

F_л = GM_лm / r², где G — гравитационная постоянная.

Расстояние от Земли до аппарата равно разности R – r.

Сила притяжения со стороны Земли:

F_з = GM_зm / (R - r)².

Равенство сил притяжения

Для расстояния r, на котором силы компенсируют друг друга, можно записать равенство для модулей сил притяжения:

F_л = F_з;

GM_лm / r² = GM_зm / (R-r)²;

M_л / l² =M_з(L - l)²;

Учитываем, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны:

M_л / r² = 81M_л / (R - r)²;

(R - r)² M_л = 81M_лr²;

R² – 2Rr + r²= 81r²;

R² – 2Rr - 80r² = 0;

80r² + 2Rr – R² = 0.

Решаем полученное квадратное уравнение относительно r:

r = (-2R + √(4R² + 4 * 80R²)) / 160 = (-2R + 18R) / 160 = 16R / 160 = R / 10;

r = 380 000 км / 10 = 38 000 км.

Ответ: космический аппарат находится на расстоянии 38 000 км от центра Луны.