В комнате протопили печь, однако внутренняя энергия воздуха в комнате при этом не изменилась. Почему это могло произойти?

Такие события вполне возможны и даже вполне реальны. 

А все будет происходить по такому сценарию, так как давление в комнате  определяет внешний воздух. Поэтому внутренняя энергия в данном случае попадает в зависимость от внешней энергии. 

Также при нагревании комнатного воздуха определенная его часть уходит из комнаты. Таким образом t повышается, а масса воздуха лишь уменьшается. 

Существует даже специальная формула:

dU=0,5*j*(m/M)*R*dT.

Таким образом ситуация, приведенная в примере - вполне объяснима.