груз имеет массу m=300г, подвешен к пружине к=64 Н/м, совершает затухающие колебания. Определить логарифмический декремент затухания, коэффициент затухания, период этих колебаний, если за время N=200 колебаний амплитуда уменьшилась в 4 раза

Ответ:

Первым шагом необходимо найти значение коэффициента затухания:

$$ \frac{\ln \frac{A_1}{A_2}}{\sqrt{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2+\left(\frac{\ln\frac{A_1}{A_2}}{2\pi N}\right)^2}} = \gamma $$

где:

$A_1$ - начальная амплитуда колебаний,

$A_2$ - амплитуда колебаний после $N$ периодов,

$T$ - период колебаний,

$N$ - количество периодов,

$\gamma$ - коэффициент затухания.

Подставляя известные значения, получим:

$$ \frac{\ln 1/4}{\sqrt{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2+\left(\frac{\ln 1/4}{2\pi \cdot 200}\right)^2}} = \gamma $$

Решая уравнение относительно $T$, найдем период колебаний:

$$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\ln^2 4}{\ln^2 4 + 4\pi^2 N^2 \gamma^2}}} $$

Подставляя известные значения, получим:

$$ T \approx 0.543 с $$

Далее, используем формулу для логарифмического декремента затухания:

$$ \delta = \frac{1}{N}\ln \frac{A_k}{A_{k+N}} $$

где:

$A_k$ - амплитуда колебаний в момент $k$,

$A_{k+N}$ - амплитуда колебаний через $N$ периодов.

При условии, что амплитуда уменьшилась в 4 раза за 200 колебаний, начальная амплитуда может быть выражена как:

$$ A_1 = 4A_{201} $$

Тогда

$$ \delta = \frac{1}{200}\ln \frac{4A_{201}}{A_{1}} = \frac{1}{200}\ln 4 \approx 0.017 $$

Таким образом, логарифмический декремент затухания равен 0.017, коэффициент затухания $\gamma$ равен 0.054 рад/с, а период колебаний $T$ равен 0.543 с.

Объяснение:

Надеюсь помог на 12:)