Геометрия 7 класс

Для решения данной задачи, воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки: касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Пусть коэффициент отношения сторон AB и AC равен x. Тогда AB = 3x, AC = 4x.

Также, по условию, BC = 6 см и AB + AC + BC = 68 см, то есть:

3x + 4x + 6 = 68

7x = 62

x = 9

Значит, AB = 27 см, AC = 36 см.

Таким образом, сторона AC равна 36 сантиметрам.

Дано: периметр треугольника АВС, описанного около окружности, равен P = 68 см, точка касания делит сторону АВ в отношении 3:4, считая от вершины А, а расстояние от точки касания до вершины С равно d = 6 см. Найти сторону АС - x см.

Решение:

1. Обозначим через y см часть стороны АВ, которая относится к одной части, тогда 3y см - первая часть от А, 4y см - вторая часть от В. По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, т.е. 3y = 4y. Вычитаем из обеих частей 4y и получаем 3y - 4y = 0, или y = 0. Следовательно, AB = 3y + 4y = 7y.

2. Рассмотрим треугольник ACD, где D - точка касания стороны BC. По теореме о касательной и секущей, AD² = CD · AD + d² (AD - секущая, CD - касательная).
Подставим известные значения и решим уравнение относительно y: 4y² = 6y + 36, y² - 2y - 9 = 0. Дискриминант уравнения D = 1 + 36 = 37. Найдем корни уравнения: y₁ = (1 - √37)/2, y₂ = (1 + √37)/2. Отрицательный корень не имеет смысла, поэтому y = (1 + √37)/2 см.

3. Находим сторону AC: AC = AB - 2AD = 7y - 2(1 + √(37))/2 = 3√37 - 5 см. Ответ: сторона AC равна 3√37 - 5 см.