Две окружности радиусов 2 и 3 касаются внутренним образом. Найти радиус окружности, касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра.

Нарисуем эти три окружности так, как требуется по условию задачи. Пусть большая окружность будет первой, средняя - второй, меньшая - третьей. Проведем касательную через точку касания второй и третьей окружности. Получим треугольник аОвТретья окружность - вневписанная по отношению к треугольнику аОв.

(Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.)

В то же время она вписана в Δ АОВ. где  ОМ - высота, биссектриса и медиана этого треугольника и равна сумме радиусов первого и второго треугольника R+r, а диаметр d третьей окружности равен разности между этими радиусами.d=R-r=3-2=1Радиус окружности,касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра, равен половине ее диаметра и равен 1:2=0,5