площа прямокутної трапеції дорівнює S, гострий кут дорівнює a. Знайти висоту трапецii, якщо ii менша дiагональ дорiвнюэ бiльшiй основi.

Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен a. Найти высоту трапецii, если ii меньше диагоналей дорiвнюэ большем основе.

Обозначим трапецию (слева снизу по часовой стрелке) ABCD. Пусть прямой угол будет D. Значит высота будет CD. Тогда малая диагональ BD и она равна по условию AD, т.е. треугольник ADB - равнобедренный, BD=AD,  <ABD=<BAD = aТогда <ADB = 180 -2*a,  а <BDC= 90 - <ADB = 2*a -90Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.S=(AD+BC)* CD/2Выразим AD и BC  через высотуBC= CD* tg<BDC=CD*tg(2*a-90)BD= CD/cos(2*a-90), но AD=BD,  значитAD=CD/cos(2*a-90)(CD*tg(2*a-90)+CD/cos(2*a-90))*CD/2= S(CD*sin(2*a-90) +CD)*CD/(2*cos(2*a-90)=S             sin (2*a-90)+1CD^2 * --------------------- = S             2*cos(2*a-90)                      2*S*cos(2*a-90)CD =корень(--------------------- )                       sin (2*a-90)+1

Трапеция АВСД:  А =В = 90гр пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = αПо условию диагональ АС = АВ  (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = αВ прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.Выразим а и в через Н:а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2αb = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2αПлощадь трапеции S = 0.5(a + b)·HS = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·HS = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α) S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2αS = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)S = 0.5H² · sin α/ cos αS = 0.5H² · tg αH²  = 2S/tg αH²  = 2S ·ctg αH = √(2S·ctg α)