Углы между боковыми сторонами двух равнобедренных треугольников равны. Биссектриса угла при основании одного треугольника делит высоту, опущенную на основание, в отношении 5:3. найдите стороны второго треугольника если его периметр равен 48см.

 

Пусть дан  один  равнобедренный треугольник и второй равнобедренный треугольник АВС с равными углам при основаниях, следовательно, и третий угол при вершине одного треугольника   равен третьему углу второго.  

Эти треугольники подобны. В подобных треугольниках все их элементы пропорциональны, следовательно, точка пересечения биссектрисы угла при основании с высотой второго треугольника  делит ее в том же отношении, что в первом, т.е. 5:3

Высота ВН равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является  и биссектрисой  и медианой. АН=НС.

Имеем две биссектрисы треугольника АВС, которые пересекаются в некой точке О. Точка О пересечения биссектрис треугольника АВС является центром вписанной в него окружности. 

Из точки О проведем перпендикуляры ОМ и ОК  к боковым сторонам треугольника. М, К и Н - точки касания окружности и сторон треугольника. 

ОМ=ОК=ОН=  радиусу вписанной окружности. 

Пусть коэффициент отношения отрезков высоты равен х.

Тогда ВО=5х, ОН=3х, ОМ=ОК=3х

Треугольники ВОМ и ВОК - египетские,т.к. катет и гипотенуза относятся как 3:5  ⇒

ВМ=ВК=4х ( можно проверить по т.Пифагора) 

ВН=3х+5х=8х 

Треугольники ВМО и ВНА - подобные, т.к. оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Следовательно, треугольник ВНА тоже египетский, и из отношения сторон такого треугольника следует 

АВ=10х, АН=6х. Или из подобия треугольников  через отношение сходственных сторон

ВН:ВМ=АН:ОМ

ВН=3х+5х=8х

8х:4х=АН:МО

АН:МО=2

АН=6х

АВ=ВС=5*2=10х

ВН - медиана, поэтому 

АС=6х+6х=12х

Периметр треугольника равен АВ+ВС+АС=48

Р=10х+10х+12х=32х

32х=48

х=1,5 см

АВ=ВС=1,5*10=15 см

АС=1,5*12=18 см