Точка M делит сторону BC квадрата ABCD в отношении 1:2, считая от вершины B. Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 , считая от вершины B . В каком отношении прямая EC делит стороны AM и MD треугольника AMD ?

РЕШЕНИЕсделаем построение по условиюAB = BC , так как ABCD -квадратТочка M делит сторону BC в отношении 1:2 -можно считать , что сторона ВС состоит из 3-х равных частей.Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 - можно считать , что сторона АВ состоит из 4-х равных частей.Прямая CE пересекает стороны AM и MD треугольника AMD в точках К и L соответственно.Дополнительное построение : обозначим точку М1 - середина отрезка MC , тогда BM=MM1=M1Cпроведем через точки М, М1 прямые m, m1 параллельные прямой CE по теореме Фалеса :параллельные прямые m,m1,CE отсекают на сторонах угла <EBCпропорциональные отрезкина стороне ВС : BM=MM1=M1C , значит на стороне BE тоже три равные части обозначим для простоты -x.так как сторона АВ состоит из 4-х равных частей, то любая часть может быть представлена в виде 3х , тогда BE=3x, тогда ЕА=9х, тогда отношение 1 : 3 = 3х : 9х = 3 : 9рассмотрим угол <BAMснова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE , снова пропорциональные отрезки на сторонах углаMK : KA = 2x : 9x = 2 : 9 <-----это сторона АМ треугольника AMDДополнительное построение : проведем прямую DM до пересечения с прямой АВ - точка Рпроведем прямую DN параллельную прямой CE прямая DN отсекает на прямой АВ отрезок AN CE || DN , EN || CDNECD - параллелограмм , так как противоположные стороны попарно параллельныследовательно BE=AN , тогда BE : EN = 1 : 4т. е. отрезок BN состоит из 5-и равных частей.тогда BE=3x, тогда ЕN=12х, тогда отношение 1 : 4 = 3х : 12х = 3 : 12рассмотрим угол <NPDснова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE,DN , снова пропорциональные отрезки на сторонах углаML : LD = 2x : 12x = 2 : 12 = 1 : 6 <-----это сторона МD треугольника AMDОТВЕТдля стороны АМ отношение 2 : 9для стороны МD отношение 1 : 6