Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 33.

Параллелограмм АВСД (АВ=СД и ВС=АД), диагонали АС/ВД=33 пересекаются в точке ОРомб КМНР (КМ=МН=НР=РК), стороны КМ||AC||РH KР||BД||МН.Обозначим угол между диагоналями ∠АОВ=∠СОД=αПлощадь параллелограмма Sп=АС*ВД*sin α/2=33ВД²*sin α /2.Т.к. по условию стороны ромба параллельны диагоналям, то ромб разделен на 4 маленьких параллелограмма, а значит противоположные углы равны ∠К=α.Рассмотрим ΔABД и ΔАКР:∠КАР - общий и ∠АКР=∠АВД (как соответственные углы для параллельных прямых КР и ВД с секущей АВ)Следовательно, ΔABД и ΔАКР подобны по первому признаку подобия: КР/ВД=АР/АД.Аналогично подобны ΔАСД и ΔРНД (∠РДН - общий и ∠ДРН=∠ДАС как соответственные).РН/АС=РД/АДКР/ВД+РН/АС=АР/АД+РД/АД.Т.к. КР=РН и АР+РД=АД, АС=33ВД, тоКР/ВД+КР/33ВД=(АР+РД)/АД(33КР+КР)/33ВД=1КР=33ВД/34Площадь ромба Sр=КР²*sin α=(33ВД)²*sin α/34².Отношение площадей:Sр/Sп=(33ВД)²*sin α/34² / 33ВД²*sin α /2=66/34²=33/578.