Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1 параллельна плоскости (ACB1). Вычислите периметр треугольника ACB1, если ребро = 2см.

1)Докажите, что плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1 параллельна плоскости (ACB1).

Проведем сравниваемые плоскости в данном кубе, соединив указанные в условии точки. Имеем две плоскости - 2 треугольника -АСВ1 и авс.По условию задачи сВ=аВ, Вв=вВ1. Все эти отрезки равны между собой, т.к. являются половинами ребер куба. Треугольник АСВ1 являет собой равносторонний треугольник, т.к. его стороны равны диагоналям граней куба, а грани куба, как известно, равны. Стороны св=ва=ас - средние линии треугольников СВВ1, АВВ1, АВС соответственно. Средние линии треугольников параллельны основаниям. св║СВ1ав║АВ1.

Нет необходимости доказывать, что ав перескается с вс, а АВ1 пересекается с СВ1Еcли две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны, что и требовалось доказать. --------------------2)Вычислите периметр треугольника ACB1, если ребро = 2см.

Поскольку стороны этого треугольника - диагонали граней куба, а его грани - квадраты со стороной 2 см, найдем длину диагонали куба и затем уже периметр треугольника. Известна формула диагонали куба. Эта формула выведена из теоремы Пифагора, легко запоминается и при решении задач бывает часто нужна:d=а√2а=2d=2√2 смАС=СВ1=АВ1=2√2 смПериметр треугольника ACB1Р=3d=3*2√2=6√2 см.