Диагонали AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответсвенно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции

Очень подробно. 

Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции. Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия25:16=k² k=√(25:16)=5:4Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4Обозначим высоту ᐃ ВОС=h₁высоту ᐃ АОD=h₂S АОD=h₂·АD:2S ВОС=h₁·ВС:2

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:

Высота трапеции НS ABCD=Н·(АD+ВС):2Н=h₂+h₁S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2==h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС-------------------

1) Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних.h₂:h₁=5:44h₂=5h₁h₂=5h₁/4 S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:225=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения12,5=5h₁/4·АD 5h₁/4 =12,5:ADh₁:4=2,5:ADh₁·AD= 4·2,5 =10 см²

Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны  равны, то h₂·ВС=10 см² 

----------------Проверим это:2)h₂:h₁=5:45h₁=4h₂h₁=4h₂/5 S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2 16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения8=4h₂/5·ВС4h₂:5=8:ВС4h₂·ВС=8·5=40h₂·ВС=40:4=10 см²--------------------3) Подставим значения  h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции

S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС =S ABCD=10+25+16+10= 61 см

Площади треугольников АВО и СОD равны(это доказывается из свойства трапеции)=S0

S1=16   S2=25

Из метода площадей четырехугольника 

S1/S0=S0/S2

sqrt(S1S2)=S0=20

Sabcd=20+20+25+16=82