В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К - центр грани DCC1D1.
Вычислите угол между прямыми:
а) BC1 и AK;
б) B1D и A1K.

а) "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными." Прямые АК и ВС1 - скрещивающиеся."Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым".Диагональ АD1 параллельна диагонали ВС1. Значит искомый угол  - <D1AK. Поскольку АС=АD1=D1C (диагонали граней), то треугольник АD1С - равносторонний и АК - биссектриса угла D1AC=60°.Значит искомый угол между прямыми ВС1 и АК равен 30°б) Перенесем В1D параллельно так, чтобы точка В1 совпала с точкой А1. А1М = а√3 (А1М=В1D - диагональ куба) МР=√(4а²+а²)=а√5  (так как МС=2а, СР=а, поскольку СК1 - средняя линия тр-ка АВР).АК1=√(а²/4+а²)=а√5/2 (По Пифагору из прямоугольного треугольника АК1D)А1К=√(а²/4+5а²/4)=а√6/2  (По Пифагору из прямоугольного треугольника А1КН)А1Р=2*А1К=а√6. (Поскольку КК1 - средняя линия тр-ка АА1Р).По теореме косинусов:Cosα=(А1М²+А1Р²-МР²)/2*А1М*А1Р.Cosα=(3а²+6а²-5а²)/2*а√3*а√6 = 4а²/6а²√2 = √2/3.Значит угол равен ≈62°.Координатный метод:Привяжем к кубу систему координат. Поскольку искомые углы не зависят от размера  куба, пусть его стороны равны 2. Тогда имеем точки В1(0;2;0), D(2;0;2), A1(0;2;2) и K(2;1;1).Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za}.Тогда вектор B1D{2;-2;2}, вектор А1К{2;-1;-1}.Угол α между вектором a и b вычисляется по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²) * √(x2²+y2²+z2²)].В нашем случае: cosα= (4+2-2)/[√(4+4+4)*√(4+1+1)] илиcosα= 4/6√2=2/3√2=√2/3. Значит угол равен ≈62°.