дан выпуклый четырехугольник abcd такой, что ad = ab + cd.Биссектриса угла a проходит через середину стороны bc.Докажите, что биссектриса угла d также проходит через середину bc.

Чтобы рисунок соответствовал условию задачи, воспользуемся для его построения окружностями с центром в точке А и радиусом АВ, и с центром в точке D и радиусом СD. Обозначим середину ВС буквой М. Нужно доказать, что биссектриса угла D пересекает ВС в точке М. По условию АD=АВ+СD, следовательно, АВ=АК, КD=СD Треугольник АВК равнобедренный, АЕ - биссектриса, ⇒ АЕ- ещё и высота,  и медиана. Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена⇒  угол ВЕА=∠АЕК=90º. Δ АDС равнобедренный, биссектриса DН- его высота и медиана. ⇒ угол СНD=∠КНD=90º. В треугольнике КВС  отрезки ВМ=МС по условию КН=НС, т.к. DН - медиана, ВЕ=ЕК, т.к. АЕ - медиана⇒МН - средняя линия. и  ЕМ- средняя линия ЕМ=КН, МН=ЕК, ⇒МН||ВК  и ЕМ||КН ∠МЕК=90º как смежный с ∠AEK, поэтому ∠ЕМН=90º как соответственный ∠ВЕМ при  прямых MH||ВК и секущей МЕ. Четырехугольник ЕМНК - прямоугольник. . Через одну точку на прямой можно провести только один перпендикуляр. ⇒НМ - продолжение DН. ⇒ Биссектриса DМ угла  D  проходит через середину  стороны ВС, ч.т.д.