Отрезок CH- высота прямоугльного треугольника ABC ( C=90 градусов ) . HL=3HK, где HL и HK - биссектрисы треугольников BCH и АСН соответственно, АВ=2*√5. Найти площадь ABC

Сначала доказываем подобие треугольников ВСН и АСН (по двум углам). Это очевидно, поскольку угол АНС и угол ВНС будут прямыми, а угол АСН = углу НВС (из треугольника АВС угол НВС = 90 - угол САВ, из треугольника АСН следует, что угол АСН = 90 - угол САВ (он же угол САН)).Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3.Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС.Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем:х² + 9х² = (2√5)²10х² = 20х = √2АС = √2, ВС = 3√2Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов:1/2×√2×3√2 = 3Ответ: 3

Решение в прикреплённом файле