докажите что радиус окружности описанной вокруг остроугольного треугольника равен радиусу окружности, проходящей через точку пересечения её высот и две вершины треугольника

Без теоремы синусов можно доказать проще. В ваших обозначениях. Если N' - точка симметричная точке N относительно AC, то ABCN' - вписанный 4-угольник. т.е. треугольники ABC и ACN' вписаны в одну окружность. A так как треугольники ACN и ACN' равны, то все доказано.

ABCN' - вписанный, потому что сумма углов A и N' равна сумме углов A и CNA, т.е. равна 180.

Решение в приложении.