Дан выпуклый четырехугольник ABCD и точка M
внутри него. Оказалось, что все тре-угольники ABM,
BCM, CDM и DAM – равнобедренные. Докажите, что
среди отрезков AM, BM, CM и DM найдутся хотя бы
два одинаковых по длине.

Стороны не даны , не указаны что они равны

Не обязательно точка М должна лежать на диагонали

Олимпиадах задача 10 класса это

Рассмотрим треугольник ABM и MCD.Треугольник ABM = треугольнику MCD т.к. ab=cd, bm=mc, ∠b=∠c ⇒ am=md т.е. треугольник amd - равнобедренный.