Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов и удалена от оси на расстояние, равное 2. Диагональ получившегося сечения равно 8. Найдите объем цилиндра.

На окрузности дугу в 120 градусов соединить хордой АВ. Из центра окружности О провести отрезки ОА и ОВ. Провести из О высоту к стороне АВ, которую назовем ОН.

Т.К. треугольник ОАВ равнобедренный то угол ОВА = углу ОАВ = 30 градусов.

Сторона ОН лежит против угла в 30 гр. а следоватеньно она равна половине гипотенуза ОА, но про ОН мы знаем что она = 2, а следовательно гипотенуза ОА= 4 т.е. радиус цилиндра ОА = 4.

Тогда площадь основания цилиндра (круг) = Пи*ОА*ОА = 3.14*4*4=16*3.14=50.24

теперь найдем высоту цилиндра.

Сначала найдем длину АВ=2*АН

АН=ОА*cos(30)=4*(3^(1/2))/2=2*(3^(1/2))     

тогда АВ=2*2*(3^(1/2))=4*(3^(1/2))

Вычислим АВ*АВ=16*3=48

ПО теореме пифагора высота цилиндра в квадрате = диагональ сечения в квадрате (т.е квадрат гипотенузы) минус АВ в квадрате.(т.е. квадрат катета)

высота цилиндра  h*h = 8*8- АВ*АВ = 64 - 48 = 16

таким образом высота h=4

объем цилиндра равен площадь основания * на высоту = 50.24 * 4 = 200.96