Помогите пожалуйста! Основания трапеции равны 20 и 10, а боковые стороны 6 и 8. Найдите радиус окружности, проходящей через концы меньшей боковой стороны и касающейся прямой, содержащей другую боковую сторону.

Решение. Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD.Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н.

Середину АD обозначим М. Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К. ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей,

является средней линией треугольника АКD. Следовательно,

КС=СD,

ВК=АВ=6Соединим С с серединой М основания АD.СМ - параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD.Рассмотрим треугольник МСD. Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5.Это отношение - отношение сторон египетского треугольника -

и потому угол МСD- прямой.Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности. По той же причине ( отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС.Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции. Получим равнобедренный треугольник АОВ.

Проведем высоту ОР ( она же и медиана этого треугольника) к АВ. Рассмотрим четырехугольник РКНО.

В нем три угла прямые: угол ОНК прямой - так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО - как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН - как соответственный углу МСD, следовательно, это - прямоугольник и сторона РК=ОН=R.Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 смРК=ОН=RИскомый радиус равен 9 см.