дана окружность с радиусом OC который перпендикулярен хорде AB. Найти угол АВС если АОВ=108

Угол АОВ - центральный угол, опирается на дугу АВ, значит дуга АВ = 108⁰

Далее вспоминаем свойство хорды окружности:

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

Значит дуга АС=дуге СВ=54⁰

Вписанный угол АВС опирается на дугу АС, и равен половине её градусной величины:

Угол АВС=54/2=27⁰

Как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;))) 

Угол АВС состоит из двух углов: АВО и ОВС

Рассмотрим треугольник АОВ. Т.к. АО = ОВ = радиусу => он равнобедренный => угол ОВА = (180 - АОВ)/2 = 36

Рассмотрим четырехугольник АОСВ. Т. к. ОС параллельно АВ => это трапеция => сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов => ВАО + АОВ + ВОС (АОВ+ВОС = АОС, что составляет один из углов трапеции) => ВОС = 180 - 36 - 108 = 36

Далее рассмотрим треугольник ОВС. Т. к. ОВ = ОС = радиусу => это равнобедренный треугольник => ОВС = (180-ВОС)/2 = 72 гградуса

АВС = АВО + ОВС

АВС = 36 + 72 = 108

вроде так