Все ребра тетраэдра ABCD равны между собой. Точки M и K середины ребек AD и BC соотвественно. Найдите угол между прямыми MK и DC.

Примем все рёбра заданного тетраэдра равными 1.Задачу можно решить двумя способами: векторным и геометрическим.1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу.Находим координаты необходимых точек.С((√3/2; (1/2); 0)                Д((√3/6); (1/2); √(2/3)).М((√3/12); (1/4); (√6/6))      К((√3/4); (3/4); 0).Определяем координаты векторов.СД((-√3/3); 0; √(2/3)), модуль равен √((3/9)+0+(2/3) = 1.МК((√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2).cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-√6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) =        = -√2/2.Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.2) Проверяем геометрическим способом.    Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды.Они равны по 1*cos30 = √3/2.МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д.Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2.Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2.Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1.Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1.Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами.Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.