из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему, В и С - их точки касания. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности.

Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересечения

Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой(ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы).Значит из равности треугольников,AC=AB

угол АOC=угол AOB(то же самое угол РOC=угол РOB)

угол  OAC=угол OAB(то же самое угол  OРC=угол OРB ), значит АP – биссектриса угла А,(то же самое, что AN - биссектриса угла А )

AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренный

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой

треугольник ABC – равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит

угол ANB= угол ANC=90 градусов

треугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы),

значит угол PBO= угол BPO

Пусть угол BOA= угол BOP= угол BON=х.

Сумма углов треугольника равна 180.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Тогда с треугольника BOP

 угол PBO= угол BPO=(180 -х)\2=90-х\2

с треугольника AOB угол OAB=90-х

угол ABP= угол OAB- угол PBO=90-х-(90-х\2)=x\2

угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90-(90-x)-x\2=x\2

угол ABP= угол PBN, значит BP – биссектриса угла B.

Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.