Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен  Корень из 7/4 (корень из семи деленый на четыре)

 

Срочно надо на завтра задача легкая, но в голову ничего не лезет.

 

9 класс 

Решение: Пусть ABCD – данная равнобедренная трапеция, AB||CD, BC=AD, AB<CD.

ME=12 м-средняя линия трапеции.

Косинус угла при основании равен корень(7)\4 , значит этот угол при большем основании(косинус острого угла) cos (ADC)=корень(7)\4.

Проведем высоту AK к основанию СD.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому

AB+CD=2*ME=2*12 =24 м.

Пусть DK=x м.Тогда DK\AD=cos (ADC).

AD=DK\cos (ADC)=x\ корень(7)\4=4\7х*корень(7)

Тогда по теореме Пифагора

AK=корень (AD^2-DK^2)= корень((4\7х*корень(7))^2-х^2)=

=3\7*корень(7)*х

Для того, чтобы четырёхугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон: a + c = b + d.

А учитывая, что трапеция равнобедренная, то получаем

24=2* 4\7х*корень(7), откуда

х=3*корень(7)

AK=3\7*корень(7)*х=3\7*корень(7)* 3*корень(7)=9 м

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты, поэтому

Радиус вписанной окружности рамен 9\2=4.5 м

Ответ: 4.5 м