Придумайте пример гладкой, но не регулярной кривой. В голову лезет только [tex] \alpha (t)=(const,const) [/tex], т.е. точка. Но возникает вопрос, есть ли ещё кривые, удовл. данному условию и является ли точка - кривой) Спасибо за ваши ответы :)
Гладкая=беск. дифференцируемая
Регулярная = вектор скорости кривой не равен 0 во всех её точках

Только из того что все пр-ные = 0 не следует дифференцируемость)

t=0 единственная проблемная точка. Но в ней производная существует и оказывается равной 0, Отсюда и вторая производная существует и равна в ней 0, и т.д. Это и доказывает беск. дифференцируемость в 0, и везде, т.к. в остальных точках очевидно.

Но, конечно, это еще надо осознать, что все производные в ней существуют и равны 0. Согласен, на картинке это пропущено.

Вот тут есть немного на эту тему https://znanija.com/task/24895548

Могу предложить такой вариант.