помогите решить. полтора часа сижу с ней, никак не идет. нужно срочно объяснить.
P.S. высота EH уходит за пределы треугольника. Поэтому и биссектриса CF пересекается с данной высотой за пределами треугольника.

нужно писать "Пусть R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника CEF"

Я думаю, задача и была составлена таким способом - взяли "египетский" треугольник, провели биссектрисы, и составили условие по получившимся значениям.

Поспешила. Для себя уже принимаешь как аксиому. Ученику могут сделать замечание. Хотя я повышала бы бал. Это говорит о том, что ученик знает такое замечательное свойство. И без труда объяснит, почему al/2+вet/2=45°. Вот все с 7 кл. знают "сумма смежных углов 180°", сто раз встречается, разбудить и скажут. Так и здесь. В отдельной задачке 7 кл. есть "найти больший угол между биссектрисами прямоугольнлго треугольника". Нашли и всё. И забыли. А ведь число постоянное 135°.

Речь идет о том, что в логической цепочке не должно быть слабых звеньев. Я как-то сдавал зачет по гидродинамике, и наш профессор (между прочим, всемирно известный ученый, и он, кажется, еще жив) ловил меня часа 4 на таких "аксиомах". Безошибочно, с хирургической точностью. Вопрос был один - "а почему?". 4 часа... а там - конформные преобразования...

Я полностью согласна с Вами.

По свойству биссектрисы треугольникаCD:CE = DF:FE = 2:1  ⇒  CE = 2CDCG - биссектриса ΔCHE и по тому же свойствуCH:CE = HG:GE = 4:5Получаем системуCH:CE = HG:GE = 4:5CE = 2CD(CD + 3/2):CE = 4:5CE = 2CD4CE = 5CD + 15/2CE = 2CD8CD = 5CD + 15/23CD = 15/2CD = 5/2CE = 5ΔCHE: cosC = CH/CE = 4/5ΔCDE по теореме косинусов:DE = √(25/4 + 25 - 2·5/2·5·4/5) = √(125/4 - 20) = √(45/4) = 3√5/2Учитывая, что EF/FD = 2/1:  FD = √5/2,  FE = √5cos(C/2) = √((1 +cosC)/2) = √(9/10) = 3/√10sin(C/2) = √(1 - cos²(C/2)) = 1/√10ΔCFE:R = EF/(2sin∠FCE) = √5 / (2/√10) = 5√2/2