СРОЧНО НУЖНО
В треугольнике ABC AB=7, BC=6, CA=3. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

В этой задаче надо решить 3 треугольника:АВС, АСД и АВД.Треугольник АВС примем в прямоугольной системе координат точкой А в начало и точкой В - по оси Ох.А(0; 0), В(7; 0).Из первого по теореме косинусов находим косинусы углов А, В и С.Отрезки СД и ВД по заданию равны:СД = 6*(7/8) = 21/4 = 5,25.ВД = 6*(1/8) = 3/4 = 0,75. cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС)  = 0,52381.  A = 1,019479 радиан  = 58,41186 градусов. cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = 0,904762. B = 0,439976 радиан  = 25,20877 градусов. cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС)  = -0,111111 = -1/9.C = 1,682137 радиан  = 96,37937 градусов.Хс = АС*cos A = 3*0,52381 = 1,571429.Yc =AC*sin A = 3*√(1-0,52381²) = 3* 0,851835 = 2,555506.Сторона АД = √(3²+5,25²-2*3*5,25) =  6,3294945.Аналогично находим координаты точки Д.Хд =  6,321429.Yд = 0,319438.Находим координаты центров О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники АСД и АВД.Хо1 = (CD*Ха+АС*Хd+АD*Хс)/ Р =  1,982965.Уо1 = (CD*Уа+АС*Yd+АD*Ус)/ Р =  1,17517.Хо2 = (ВD*Ха+АB*Хd+АD*Хb)/ Р =   6,28975.Уо2 = (ВD*Уа+АB*Yd+АD*Уb)/ Р =  0,158817.Здесь Р - периметр треугольника.Находим площади треугольников по формуле Герона:S(ACD) =  7,826238.S(ABD) =  1,11803.Находим радиусы вписанных окружностей:r1 = S(ACD)/p = 7,826238/ 7,2897472 =  1,073595.r2 = S(ABD)/p =  1,11803/ 7,039747225 =  0,158817.Теперь находим длину L отрезка О1О2:L = √(Хо2-Хо1)²+(Уо2-Уо1)²) =  4,425080879.По Пифагору находим:EF = √(L²-(r1+r2)²) = 4,25.