В прямоугольный треугольник вписан ромб так, что его вершины лежат на сторонах треугольника. а угол, равный 60, является общим углом треугольника и ромба. Найдите стороны треугольника, если сторона ромба равна 6см.

Решение: Пусть АСВ - данный треугольник с прямым углом С и острым углом А=60 градусов, АКМР - данный ромб, веришна К лежит на стороне АС, вершина М лежит на стороне ВС, вершина Р лежит на стороне АВ.

Тогда АК=КМ=РМ=Ар=6 см.

угол АСМ=180-угол А=180-60=120

угол ВСМ=180-угол АСМ=180-120=60 градусов (как смежный)

угол В=90-угол А=90-60=30 градусов

значит угол ВМС=180-угол В-угол ВСМ=180-30-60=90 градусов

Из прямоугольного треугольника ВМС:

ВР=МР\соs 60=6\ (1\2)=12 см

АВ=АР+РВ=6+12=18 см

АС=АВ*сos 60=18*1\2=9 см

ВС=АВ*sin 60=18*корень(3)\2=9*корень(3)

Ответ: 9 см, 9*корень(3) см, 18 см

10. Вписанная в трапецию окружность делит одну из боковых сторон на отрезки 4см и 9см. Найдите площадь трапеции, если одно из оснований равно 7см.

Решение: Пусть АВСD - данная трапеция, K, L, M, N, - точки касания вписанной в трапецию окружности соотвественно со сторонами AB,BC,CD,AD. AN=4 DN=9 AB= 7

По свойству что касательные проведенные к окружности из одной точки имеюют равные длины:

AN=AK=4

BK=BL=5

CL=CM

DN=DM=9

BK=AB-AK=7-4=3

Проведем высоту AF к основанию CD.

AF=KM

AK=FM=4

DF=DM-FM=9-4=5

AD=AN+DN=4+9=13

По теореме Пифагора

AF^2=AD^2-DF^2=13^2-5^2=12

Проведем высоту BH к основанию AD:

BH=AF=12

KB=MH=3.

Пусть CL=CM=x

CM=x-3

Тода по теореме Пифагора

12^2=(3+x)^2 - (x-3)^2

144=9+6x+x^2-x^2 +6х-9

144=12x

x=144\12=12

СD=DM+MH+CH=9+12=21

Площадь трапеции ABCD равна : (AB+CD)\2*AF=(7+21)\2*12=168 см^2

Ответ:168 см^2