Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить площадь круга, если угол при основании трапеции равен 30 градусов.

Пусть имеем трапецию ABCD, AB=CD, AD>BC

C вершин трапеции B и C на AD опустим высоты BK и CL соответственно

Так как трапеция описана около круга, то высота трапеции равна 2r,то есть BK=CL=2r

Из треугольника ABK, имеем

   tg(A)=BK/AK => AK=BK/tg(30°)=2r : 1/sqrt(3)=2sqrt(3)r

   AK=LD= 2sqrt(3)r

BC=2r, так как окружность вписана в трапецию

AD=AK+LD+KL=2sqrt(3)r+2sqrt(3)r+2r=4sqrt(3)r+2r

Sтр=(BC+AD)*BK/2

S=(2r+4sqrt(3)r+2r)*2r/2

S=r^2(4+4sqrt(3)) => r^2=S/(4+4sqrt(3))

Площадь круга равна

  S=pi*r^2

  S=S*pi/(4+4sqrt(3))