На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции на пополам. Найдите длину MN если BC=a и AD=b

S(ABCD) = (a+b)*H/2

S(AMND) = (b+x)*h/2 = (a+b)*H/4

S(MBCN) = (a+x)*(H-h)/2 = (a+b)*H/4

Выразив h из второго уравнения и подставив в третье, получим:

(a+x)(2b+2x-a-b) = (a+b)(b+x)

2x^2 = a^2 + b^2

x = кор( (a^2 + b^2)/2)

Так как отрезок МN параллелен основаниям трапеции и разбивает ее на две равновеликие трапеции, он является средним квадратичным для оснований трапеции. И находится он по формуле: .