В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD. Найти BC, если известно что AD=a, AB^2+BC^2=11/16a^2

Проведем дополнительно высоту СК. Так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок DK = (а-х)/2, где х - искомое основание ВС.

Из тр-ка СКD: CD = DK/cosD = (a-x)/(2cosD).

С другой стороны из пр.тр-ка ACD:  CD = a*cosD.

Приравняв, получим: cos^2 (D) = (a-x)/2a                          (1)

Но по условию:

AB^2 + x^2 = (11/16)a^2, а АВ^2 = CD^2 = a^2 *cos^2(D) = a(a-x)/2

Подставив получим уравнение:

a(a-x)/2  +  x^2 = (11/16)a^2                                            (2)

Домножим на 16 и приведем к квадратному уравнению:

16x^2  - 8ax - 3a^2 = 0      D = 64a^2 + 192 = 64(a^2  +3)

x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32    (другой корень - отрицателен)

x = (a + кор(a^2 +3))/4