1. Известно,что |a| = 3, |b - 2a|=корень из 21, |b + 3a| = корень из 166. Найдите а) |b|; б) Пр.b – a (2b+a).(а и b - векторы)

 

2. В треугольнике АВС: |АВ|=4 корня из 2, А = 60*, С = arccos(13 -0.5  

AM - медиана. Через вершину В перпендикулярно прямой АМ проведена прямая, которая пересекает прямую АС в точке F. Найдите |AF|.

1.  а) Распишем скалярные произведения векторов (b-2a)  и  (b+3a) самих на себя:

(b-2a)^2 = b^2 - 4ab + 4a^2 = 21           b^2 - 4ab = 21 - 36 = -15

(b+3a)^2 = b^2 + 6ab + 9a^2 = 166        b^2 + 6ab = 166 - 81 = 85

Вычтем из второго первое:  10ab = 100,    ab = 10 (нашли скалярное произведение векторов a и b). b^2 = 25   |b| = 5. (нашли искомый модуль b).

б) Чтобы найти проекцию вектора (2b+a) на вектор (b-a), надо сначала найти cosa (косинус угла между ними).

Составим скалярное произведение:

(2b+a)(b-a) = 2b^2 - ab - a^2 = 50 - 10 - 9 = 31    тогда:

cosa = 31/(|2b+a|*|b-a|)

Тогда проекция (2b+a) на (b-a) равна:

|2b+a|*cosa = 31/|b-a|

Найдем |b-a|: (b-a)^2 = b^2-2ab+a^2 = 25-20+9 = 14

Значит |b-a| = кор14.

И искомая проекция равна: 31/(кор14).

На всякий случай найдем проекцию (b-a) на (2b+a) (просто в условии непонятно какую именно проекцию надо найти).

Данная проекция равна: |b-a|cosa = 31/|2b+a|

Найдем |2b+a|.

(2b+a)^2 = 4b^2+4ab+a^2 = 100+40+9 = 149, тогда:

|2b+a| = кор149

И проекция равна 31/(кор149)

Ответ: а) |b| = 5

б) Проекция вектора (2b+a) на вектор (b-a) = 31/(кор14);

    Проекция вектора (b-a) на вектор (2b+a) = 31/(кор149)

(выбирайте ту проекцию, которая реально задана в задании)

2. Решил методом координат, ответ: |AF| = 154/37. Если необходимо подробное решение с чертежом, напишите эл. адрес, вышлю на почту к вам фотки, так как на сайте по прежнему не проходят вложения.