В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45◦ и 30◦ соответственно.

∠ABC = 180° - (45° + 30°) = 105°По теореме синусов:a : sin 45° = c : sin 30°a = c · √2/2 : (1/2) = c√2b : sin  105° = c : sin 30°Найдем sin 105° :sin 105° = sin (90° + 15°) = cos 15° b = c · sin105° : sin 30° = 2c · 1/2 · (√3 + 1)/√2 = c · (√3 + 1)/√2m² = (b² + c²)/2 - a²/4m² = (c · (√3 + 1)/√2)²/2 + c²/2 - 2c²/4 = c²(√3 + 1)²/4m = c · (√3 + 1)/2 = b/√2По теореме синусов из ΔАМС:m : sin 30° = b : sinαsinα = 1/2 · b / m = b/(2m) = b / (2 · b/√2) = √2/2Так как α тупой угол, α = 135°